المشكلة المزدوجة والاثمان الرمزية 

Shadow Prices & the Dual Problem

ان لكل مشكلة من مشاكل البرمجة الخطية مشكلة مماثلة تدعى بالمشكلة المزدوجة. حيث يشار الى المشكلة الاصلية بالمشكلة الاولية (Primal). فاذا كان المقصود بالمشكلة الاولية هو تحقيق أقصى الارباح أو أعلى مستوى من الانتاج. فإن هدف المشكلة المزدوجة هو تحقيق ارباح معينة او انتاج معين بأقل التكاليف. فلنفرض بأن  المشكلة الاولية تتعلق بزيادة الانتاج ضمن نفس المستوى من التكاليف اما المشكلة المزدوجة فهي محاولة تقليل التكاليف بالنسبة لمستوى معين من الانتاج. ويتوقف موضوع ايجاد حل لمشكلة معينة سواء في شكلها الأول أو المزدوج على ناحيتين: (1) ماهية البرمجة التي تؤدي الى تحقيق النتائج المرغوبة بصورة مباشرة، و (2) نوع المعادلة التي يمكن حلها بصورة اسهل.   

سنحاول هنا تحديد وحل المشكلة المزدوجة للمشكلة الاولية التي سبق بحثها. فقد رأينا في السابق بأن المشكلة الاولية كانت انتاج ذلك المستوى من السلعتين (س) و (ص) الذي يحقق اقصى الارباح الممكنة للمؤسسة، مع الاخذ بنظر الاعتبار للتحديدات الخاصة بالكميات المتوفرة من المستخدمات: (أ) ، (ب) ، و(ج). اما المشكلة المزدوجة فهي تتعلق بتحقيق مستوى معين للإنتاج بأقل التكاليف، أي بعبارة اخرى تقليل لقيام المستخدمات (أو الأثمان الرمزية).

وبما ان الأثمان الرمزية هي تعبير آخر عن الايرادات الحدية للمنتجات، لذلك يمكن تحديد الثمن الرمزي لمستخدم معين بواسطة التوصل اولاً الى طريقة الانتاج التي تحقق اقصى ربح ممكن. اما الخطوة الثانية فهي تقليل كمية الوحدات المستعملة من المستخدم الذي يراد تحديد ثمنه الرمزي بوحدة واحدة. ويجب ان يؤدي هذا الى انخفاض الربح. وهذا التغيير في الربح هو الثمن الرمزي، او الايراد الحدي او قيمة مساهمة هذا المستخدم في الانتاج.   

فما هو الثمن الرموزي للمستخدم (أ) ؟ اذا قللنا الكميات المتوفرة من هذا المستخدم بوحدة واحدة. فيصبح التحديد الأول س+2ص ــ13 وسيكون الخط الذي يمثله هذا التحديد موازياً للخط (أ أ) في الشكل رقم (5). وسيقطع هذا الخط الجديد الخط           (ب ب عند النقطة (ن) . حيث ستنتج المؤسسة عند هذه النقطة (3) وحدات من سلعة (س) و (5) وحدات من سلعة (ص) كما يتضح من الشكل رقم (5)، وسيكون الربح الجديد 145 دينار = 3×15 + 5×20  

لذلك يكون الثمن الرمزي للمستخدم (أ) هو (5) دنانير : 

ونترك للقارئ أن يبين بأن الثمن الرمزي للمستخدم (ب) هو (10) دنانير. حيث  يمكن تحديد الاثمان الرمزية بواسطة حل المشكلة المزدوجة، أي مشكلة تقليل تكاليف المستخدمات التي يعبر عنها بالشكل التالي :

فيجب ان يكون الناتج هو ث₁ = 5 دنانير، ث₂ = 10 ، ث ₃ = صفر ، حيث يمثل ث₁ ، ث₂ ، و ث₃  الاثمان الرمزية للمستخدمات (أ) ، (ب) ، و (ج) على التوالي ، يتضح ان حل المشكلة المزدوجة هو غير ضروري وذلك لان مجرد التوصل الى الحل المثالي للإنتاج سيمكننا من اشتقاق الاثمان الرمزية منه بسهولة.