ثانياً : المشاكل الخاصة بتحقيق اقصى الأرباح الممكنة

سنحاول هنا تحليل المشاكل المتعلقة بتحقيق اقصى الأرباح (او اقل التكاليف) الممكنة وذلك بالإشارة الى نموذجين : يتعلق النموذج الأول بمشكلة تشمل على انتاج واحد باستخدام عاملين (او مستخدمين) للإنتاج ويتعلق النموذج الثاني بمشكلة تشمل على انتاج منتجات متعددة وذلك باستعمال مستخدمات معينة . 

(1) انتاج واحد، باستعمال مستخدمين

لنفترض بأن مؤسسة معينة تختص بإنتاج واحد (س) وتستعمل مستخدمين (أ) ، (ب) وأن هذه المؤسسة تسعى الى زيادة الانتاج الى أقصى حد ممكن ، مع الأخذ بنظر الاعتبار نفقات محددة للتكاليف. والمشكلة هنا هي شبيهة بالمشاكل الخاصة بنظرية الانتاج وتعتبر الوسائل التحليلية لنظرية الانتاج كمقدمة مفيدة في دراسة البرمجة الخطية . لنفترض ايضاً عدم إمكانية الاحلال بين (أ) و (ب) بصورة مستمرة ولنفترض بأن هناك أربع طرق فقط (نسب ممكنة بين أ ، ب) تستطيع المؤسسة بواسطتها انتاج سلعة معينة. كما تواجه المؤسسة اثمان ثابتة للمستخدمات وثمن ثابت للإنتاج.

ويمكن توضيح هذه بالشكل رقم (1) التالي : 

يتضح من الشكل السابق ان وحدات المستخدم (أ) تقاس على المحور الأفقي وتقاس وحدات المستخدم (ب) على المحور العمودي . فإذا فرضنا ان الطريقة د (احدى الطرق الأربع المتوفرة للمؤسسة لانتاج سلعة معينة) تتطلب استخدام ثلاث وحدات من المستخدم (ب) بالنسبة لكل وحدة من المستخدم (أ) ، فيمكن ان تمثل هذه العلاقة بين المستخدمين حسب طريقة الانتاج (د) بالخط (م د) وتعكس النقاط المختلفة من هذا الخط النسبة الثابتة للمستخدم (ب) الى المستخدم (أ) ، ولكن على مستويات مختلفة للجمع بين هذين المستخدمين لغرض تحقيق نفس المستوى من الانتاج. وبالمثل بالنسبة للخطوط (م هـ) ، (م و) ، و (م ز)، حيث يعكس كل خط من هذه الخطوط النسبة الثابتة بين هذين المستخدمين، الا ان هذه النسبة تختلف لكل طريقة من طرق الانتاج.  

والجدير بالملاحظة هنا ان افتراض دالة الانتاج متماثلة خطياً تمكننا من قياس الانتاج على طول كل خط من خطوط طرق الانتاج الأربع. وتعني دالة الانتاج هذه انه لوزيدنا استخدام وحدات المستخدمات بنسبة معينة، فإن الانتاج سيزداد بنفس تلك النسبة . لنفترض مثلاً ان استخدام ثلاث وحدات من المستخدم (ب) مع وحدة واحدة من المستخدم (أ) سيمكننا من انتاج عشر وحدات من السلعة (س)، وتمثل النقطة (ن) على الخط (م د) عملية الجمع بين هذه المستخدمين لانتاج عشر وحدات من السلعة (س) . والآن اذا ضاعفنا من وحدات المستخدم (ب) الى ست وحدات والمستخدم (أ) الى وحدتين، فسيكون من الممكن مضاعفة الانتاج الى عشرين وحدة من السلعة (س) وتمثل النقطة (نَ) على الخط (م د) عملية الجمع الجديدة بين هذين المستخدمين وتبتعد ضعف مسافة النقطة (ن) عن نقطة المركز (م).

ويقاس الإنتاج بنفس النسبة لكل طريقة من طرق الإنتاج الثلاث الأخرى. لا ان المسافات لقياس (20) وحدة من الانتاج او اية كمية معينة اخرى لا تكون عادة متساوية بالنسبة لكل طريقة من طرق الانتاج وذلك لأن الكفاءة التكنولوجية للطرق الثلاث الاخرى لانتاج (20) وحدة من السلعة تتحدد حسب الخطوط التي يوضحها الشكل السابق.

ويمكن توصيل النقاط الواقعة على خطوط طرق الانتاج المختلفة الي تمثل كمية معينة للإنتاج بخطوط مستقيمة كما يتضح من الشكل بالنسبة لمستوى انتاج (20) وحدة. وتكون النتيجة الحصول على منحنى منكسر (Kinked Curve) يعرف بمنحنى الانتاج المتساوي (Isoquant Curve) . ويمكن رسم منحنى لمستوى انتاج متساوي بالنسبة لكل مستوى ممكن من الانتاج وكلما زاد مستوى الانتاج، كلما ابتعدت منحنيات الانتاج المتساوي عن نقطة المركز. وتكون الاجزاء الخطية لمنحنيات الانتاج المتساوي بين اي خطين من طرق الانتاج متوازية دائماً مع الاجزاء الخطية لمنحنيات الانتاج الاخرى ، كما يتضح من الشكل رقم (2) التالي : 

يتضح من الشكل أعلاه ان الجزء (ن كَ) من مستوى الانتاج المتساوي (س) هو موازيا للجزء (ن ك) من مستوى الانتاج المتساوي (سَ) ^* وتمثل اية نقطة على منحنى الانتاج المتساوي (سَ) كالنقطة (ج) استخدام المؤسسة لطريقتين من طرق الانتاج في وقت واحد كإنتاج كمية محددة من سلعة معينة . اي ان المؤسسة ستستخدم في هذه الحالة طريقتي الانتاج (د) و (هـ). ويفترض في هاتين الطريقتين ان تكونا مستقلتين الواحدة عن الأخرى من الناحية التكنولوجية . وان انتاجية الطريقة (د) لا تتأثر بمدى استخدام الطريقة (هـ) والعكس كذلك وتنتج الكمية (م ن) من السلعة (س) بواسطة الطريقة (د) . اما الكمية ( ن ج ) = ( كَ كَ) من السلعة (س) فإنها تنتج بواسطة الطريقة (هـ).

لنفترض بان المستخدم (ب) هو رأس المال والمستخدم (أ) هو العمل. وبما انه لا يمكن استبدال مستخدم بآخر بصورة مستمرة ، لذلك تنطبق هنا نفس المبادئ التي تحكم منحنيات الانتاج المتساوي في نظرية الانتاج. فإذا كانت المؤسسة تستعمل الطريقة (ز) لانتاج كمية معينة من السلعة، فتكون نسبة العمل الى رأس المال عالية نسبياً . لذلك فإذا كانت المؤسسة تنوى استعمال طريقة للإنتاج تستخدم نسبة قليلة من العمال بالنسبة الى رأس المال، ولنفرض انها طريقة (و) ففي هذه الحالة تستطيع المؤسسة الاستغناء عن كمية كبيرة من العمل للحصول على الوحدات الاضافية من رأس المال ، في حين ان مستوى الانتاج يبقى على حاله. ولكن كلما تتجه المؤسسة نحو استعمال الطرق الانتاجية التي تستخدم معدلات اقل من العمل بالنسبة لرأس المال كالطريقتين (هـ) و (د) مثلاً ، فإن من المتوقع ان تقل وحدات العمل التي يمكن الاستغناء عنها للحصول على وحدات اضافية من رأس المال، أي بعبارة اخرى سترتفع قيمة الوحدات الاضافية من العمل بالنسبة للوحدات الاضافية من رأس المال، ويمكن توضيح ذلك بالشكل رقم (3) التالي :

يوضح (م ث) على المحور العمودي من الشكل اعلاه المبالغ المحددة التي يمكن للمؤسسة انفاقها للحصول على أي من المستخدمين (أ) أو (ب) اوكليها . فإذا قسمنا هذا على ثمن المستخدم (أ) فسنحصل على (م ثَ) من وحدات (أ) ، في حالة انفاق جميع المبالغ المتوفرة للمؤسسة على هذا المستخدم وعدم انفاق اي شيء على المستخدم (ب). ونفس الشيء يقال عن المستخدم (ب)، حيث يمثل (م ث) عدد وحدات (ب) التي يمكن الحصول عليها في حالة انفاق جميع المبالغ على هذا المستخدم وعدم انفاق اي شيء على المستخدم (أ) . لذلك يمثل الخط (ث ثَ) منحنى التكاليف المتساوية الذي عكس الوحدات المتوفرة للمؤسسة من المستخدمين (أ) و (ب) حسب المبالغ المتوفرة التي يمثلها ( م ث). ويكون لمنحنى التكاليف المتساوية درجة انحدار سالبة تساوي م ث / ث ثَ والذي هو عبارة عن :

لذلك فإن منحنى التكاليف المتساوية وطرق الانتاج الاربع التي تمثلها الخطوط (م د)، (م هـ) ، ( م و)، (م ز)  هي بمثابة التحديدات التي تواجهها المؤسسة . اما الامكانيات المتوفرة للمؤسسة فتكون ضمن المثلث (م حٌ طّ) للجمع بين المستخدمين (أ) و (ب) لانتاج كمية معينة من السلعة (س) . وتسمى المنطقة المحصورة في داخل هذا المثلث بمنطقة الحلول Area of Feasible Solutions لمشكلة المؤسسة . اي انه لا تتوفر للمؤسسة إمكانيات الإنتاج خارج هذه المنطقة.

والمهم الآن هو ايجاد الحل الافضل لمشكلة المؤسسة في تحقيق اقصى انتاج ممكن ، مع الأخذ بنظر الاعتبار لكميات المستخدمات المحدودة وكذلك موارد المؤسسة الثابتة ، وتمثل النقطة (لَ) هذا الحل الأفضل، حيث يكون منحنى التكاليف المتساوية (ث ثً) ماساً لأعلى منحنى ممكن للإنتاج المتساوي (سَ) . اي ان المؤسسة  ستستعمل الطريقة (و). اما في حالة حدوث تغير في نفقات المؤسسة ، مع بقاء اثمان المستخدمات ثابتة ، فإن هذا سوف لا يؤثر على طريقة الانتاج المستعملة ، ولكن يؤثر فقط على مستوى استعمالها للمستخدمات، اي ان اي تغيير في منحنى التكاليف المتساوية سيؤدي الى تغيير مركز هذا المنحنى وليس درجة انحداره ، فمثلاً ان انخفاض النفقات معناه تحول منحنى التكاليف الى جهة اليسار اي الى (ع عَ) الموازي للمنحنى الاصلي (ث ثَ ) . فتكون منطقة الحلول الممكنة في هذه الحالة المنطقة المحصورة في المثلث ( م ح طَ ) . ويمكن للمؤسسة ان تحقق اقصى الانتاج وذلك باستعمال طريقة الانتاج (و) عند النقطة (ل) ويكون اقصى انتاج ممكن هو المستوى (س).

اما لو افترضنا ارتفاع ثمن المستخدم (أ) بالنسبة للمستخدم (ب) ، ففي هذه الحالة لا بد للمؤسسة من اللجوء الى طريقة انتاج اخرى فلنفرض ان الانفاق الكلي للمؤسسة بقى على حاله وان ثمن المستخدم (أ) ازداد بحيث ان ما تستطيع المؤسسة ان تحصل عليه من الوحدات لهذا المستخدم (في حالة انفاق جميع المبالغ المتوفرة للمؤسسة على هذا المستخدم هو (م ثُ) ، اي يكون منحنى التكاليف المتساوية الجديد هو (ث ثُ). اما منطقة الحلول الممكنة فستكون داخل المثلث ( م حَ ط ) . لذلك ستستعمل المؤسسة في هذه الحالة طريقة (هـ) عند المستوى (ك). ومن الممكن ايضاً، ان يتغير ثمن المستخدم (أ) بالنسبة لثمن المستخدم (ب) بشكل بحيث ينطبق منحني التكاليف المتساوية على الجزء الخطي لمنحنى الانتاج المتساوي، كالجزء (ن كَ) مثلاً . ففي هذه الحالة تكون كل من الطريقتين (د) و (هـ) بنفس المستوى من الكفاءة الانتاجية ، اي تستطيع المؤسسة ان تستعمل اي من الطريقتين أو الجمع بينهما ضمن الجزء (نَ كَ) من منحنى الانتاج المتساوي .

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ 

* لابد ان يكون ذلك لان الضلعين (مَ نَ) و (مَ كَ) من المثلث (نَ كَ م) مقتطعان بأجزاء متناسبة بالخط (ن ك) ، أي ان